Teorema de Pitágoras com prova

Onde a soma de dois quadrados encontra o terceiro.

O teorema de Pitágoras fornece a relação entre os lados de um triângulo retângulo: a soma dos quadrados dos comprimentos dos dois lados é igual ao quadrado da hipotenusa.

É um desses teoremas primários de toda ciência. Só para dizer que a notação vetorial está envolvida em tudo. Mecânica clássica, eletromagnetismo, relatividade, mecânica quântica são todos benefícios. Nesse caso, é bom não apenas saber como usá-lo, mas também por que ele se mantém.

Para esse propósito, suponha que temos um setor dividido em qualquer ponto em duas partes menores, chamadas a e b , que são catetos de um triângulo retângulo.

Em seguida, precisamos adicionar a hipotenusa, mas para desenhá-la, temos que passar para 2D. Portanto, tratamos o setor a + b como o comprimento do lado de um quadrado.

Além disso, sabemos que a área de um quadrado é o seu lado vezes. No nosso caso:

Agora vamos formar nosso triângulo cortando essa área em partes menores, como segue:

O que temos são quatro triângulos retângulos idênticos de lados: a, b, c , e um quadrado, que tem o lado c . Sua área total é igual a:

Preenchemos toda a área do quadrado inicial na medida em que os formamos; assim, sua área total deve ser igual à área do quadrado.

O que profs a validade do teorema de Pitágoras.

Mas e as dimensões superiores?

Para entender como esse caso bidimensional pode ser generalizado em dimensões superiores, vamos discutir o problema semelhante em 3D.

Um sistema de coordenadas e um vetor são o que precisamos. Vamos desenhar alguns então.

O que é necessário para calcular o comprimento do vetor a- é encontrar um triângulo retângulo que nos permitirá usar a fórmula. Observe, então, que a projeção de qualquer componente vetorial é sempre perpendicular ao plano que ele cruza, e qualquer um de seus pares está se cruzando em ângulo reto: isso é porque cada eixo é perpendicular aos outros.

O que isso significa para nós?

O componente y- , que estendeu nosso espaço 2D para a 3ª dimensão, é perpendicular ao plano xz- . Então, se apenas soubéssemos qual é a magnitude do vetor da origem até o ponto onde ele cruza este plano, teríamos nosso triângulo e poderíamos usar a fórmula.

Então, o que poderia ser?

Observe que os componentes x e z- , como dissemos, estão se cruzando em ângulo reto. Assim, se considerá-los como mostrado na figura, eles formariam o retângulo cuja diagonal é o vetor que compartilha componentes ao longo do xz- plano com nosso vetor a- , dividindo-o em dois triângulos retângulos. Portanto, poderíamos usar o teorema de Pitágoras para encontrar sua magnitude. Isto é:

E agora temos ambos os lados do nosso triângulo retângulo. O primeiro que acabamos de entregar e o segundo é o próprio componente y- .

Etapas semelhantes também ocorrem com dimensões ainda maiores. Tendo um espaço n- dimensional, e lutando para determinar a magnitude de um vetor ali, você também pode dividi-lo em duas partes. O primeiro composto por dimensões n-1 permitirá calcular a diagonal do hiper-retângulo, que seria o primeiro lado do triângulo retângulo desejado. O que resta de n dimensões, quando já tiramos n-1 dele? Este único fornece a dimensão enésima por ser o segundo lado do triângulo retângulo. Retirando a essência: independentemente de quantas dimensões seu sistema de coordenadas tenha, o teorema pode ser aplicado, sempre.

A fórmula para dimensões maiores ficaria assim: