オーストラリアでのCOVID-19の蔓延

Excel / VisualBasicでのSIR疾患メソッドの実装を使用したモデリング研究

ジョン・エドワーズ、2020年4月

約40年の友人であり同僚であるジョン・エドワーズは、このイベントがオーストラリアの島国全体でどのように展開し、最終的に解決する可能性があるかについての彼の理解にある程度の厳密さを適用することにしました。彼が私にこれを共有することを許可することに同意したことを嬉しく思います。コメントやフィードバックを歓迎します。この作業が、状況自体と、私たち全員が受けた混乱し、単純で、しばしば矛盾する報告の両方をよりよく理解するのに役立つことを願っています。

E n 喜び。

ピーターロバートソン

情報がほとんどない

2020年3月中旬、私はコロナウイルスの流行がどのように進展しているかについて興味がありました。オーストラリア政府が曲線の写真を見せて、私たちの健康システムへの影響を減らすためにそれらを「平らにする」必要性について話している間、大きさや期間などの本当に重要な問題に関する情報はあまりなかったようです。何人の人が感染することになり、流行はどのくらい続くのでしょうか?

この状況に対処するために、私は独自のコロナウイルスモデルを作成して維持することを決意しました。このモデルは、データソース、仮定、方法、調査結果など、このプレゼンテーションの残りの部分に記載されています。

トム博士とSIR疾患モデル

私の出発点は、エピデミックの数学を見ることでした。これにより、オックスフォード大学のトムクロフォード博士( tomrocksmaths.com )の優れた熱狂的なオンラインプレゼンテーションにたどり着きました。特に、私はこれに出くわしました:オックスフォード数学者がCOVID-19(コロナウイルス)のSIR疾患モデルを説明します

ビデオで説明されているSusceptibles-Infectives-Recovered(SIR)モデルは、次のような懸念に対処する簡単な方法を提供するため、魅力的です。

エピデミックをモデル化する方法は他にもたくさんありますが、私はできる限りシンプルで実用的な取り組みを続けたいと考えていたため、ここで紹介するモデルはSIRに基づいています。州ごとに1つずつ、多数の同時SIRモデルを実行することは可能ですが、この調査で示されているように、母集団全体の単純な「集中」モデルよりもかなり多くのデータのチェックをモデル化して入力する必要があります。

微分計算からExcelへ

トム博士の説明はSIRの概要を示していますが、インターネット上で利用可能な実世界のデータに微分方程式を適用する方法については説明していません。これは通常、感染者数の1日あたりの数値の形式です。 、回復など。

さらに詳しく見てみると、理論と実践を橋渡しし、ExcelでSIRモデルを実装するために必要なすべての詳細を提供する次の記事を見つけました。 http://www.pandemsim.com/data/index.php/ make-your-own-sir-model /

SIR —簡単な説明

先に進む前に、SIRモデルについて簡単に説明します。病気の蔓延をシミュレートするために非常に精巧なモデルが開発されましたが、SIRは最も古く、最も一般的に適用されているものの1つであり、任意の時点で人口を3つのコンパートメントに分割し、対応する値が人口の現在の割合を示します。

•感受性—最初は集団全体に設定されます(ウイルスは新規であり、したがって誰もが感染しやすいため)。「感受性」の数字はまだ感染していない個人を表しており、その後、流行が進むにつれて低下します。

•感染症—病気が存在するためには少なくとも1人の個人が必要であるため、最初は1に設定され、その後、他の「感染症」に感染した個人を表します。この数字は、流行が進むにつれて減少する前にピーク値に上昇する傾向があり、政治家が「平坦化」する必要があると頻繁に説明する「ベル」型の曲線の原因です。

•回復—病気はまだ広がっていないため、最初はゼロに設定され、その後、流行が進行するにつれて上昇します。

モデルが時間の経過とともに、感染率「β」に応じて、一部の「感受性」は感染状態に移行し、一部の「感染」は「回復」状態に移行します。回復率「γ」について:

一般的なSIR曲線

次のグラフは、典型的なSIR曲線(日ごとにプロット)を示しています。この例では、オーストラリアの人口全体に広がる架空のインフルエンザの流行について説明しています。

初期条件

上記のように、新しいウイルスの流行の初期のS、I、R値は明らかです:

2020年3月29日現在のSの初期値25,641,709は、オーストラリア統計局のWebサイトから取得したものです。

https://www.abs.gov.au/AUSSTATS/[email protected]/Web+Pages/Population+Clock?opendocument&ref=HPKI

前述の「典型的なSIR曲線」の例では、「β」と「γ」はそれぞれ0.297と0.072に設定され、インフルエンザの発生に関する以前のデータから導き出されましたが、コロナウイルスの感染率と回復率はどうでしょうか。 SIR数学では、回復する日数は「γ」の逆数である「Y0」で表されます。 「Y0」の値は約17日(下記の「データb」のウェブサイトから取得したデータによる)であるように見えます。これは、広く報告されている14日よりもわずかに長い値です。 1を17で割ると、「γ」の数値は0.059になります。これにより、さまざまな方法で見つけることができる「β」の値を決定する必要があります。この場合、次の方法を使用しました。

β」の検索—ソースデータ

コロナウイルスの拡散率の推定には、既存のデータの分析が含まれます。3月下旬に、次のようにラベルを付けた2つのソースに遭遇しました。

•データa: https://www.health.gov.au/news/health-alerts/novel-coronavirus-2019-ncov-health-alert/coronavirus-covid-19-current-situation-および-ケース番号

•データb: https://www.covid19data.com.au/

「データb」の方が便利であることがわかり、毎日のコロナウイルスデータの主要なソースとして採用しました。

後で、主に「データb」からの追加データの派生を確認するために使用された3番目のソースを調べました。

データb—累積確認されたケース

3月24日の時点で、「データb」には、次のグラフに示すように、コロナウイルス感染の「累積確認済み」ケースの数値が含まれています。

データb—派生値

「DailyConfirmed」、「Daily Recovered」、「Cumulative Recovered」、およびアクティブな「Infectives」の値は、「CumulativeConfirmed」のケースデータから導き出されました。

派生値の計算

次のExcelスプレッドシートのフラグメントは、前述の値を導出するために使用される方程式と増分方法を示しています。

データb—感染性

エピデミックの発生中、「感染症」の曲線は「累積確認済み」の曲線とそれほど変わらないようです(その段階で回復した「感染症」はそれほど多くないので理解できます):

データb—対数スケールでプロットされた感染症

上記のグラフの大部分では「感染症」曲線はかなり平坦に見えますが、曲線を対数目盛でプロットすると、別の話が明らかになります。

その行について

上記のグラフには、エピデミックの初期の広がりに関する重要な情報が含まれていることは明らかです。データポイントをきちんと満たす一見直線を詳しく見ると、それを使用して「β」の値を決定できます。

下の左側のグラフは、Excelのトレンドラインとそれに対応する数式を重ね合わせて、原点に変換された「フィット」ラインを示しています(計算を簡素化し、分析を容易にするため)。

式が示すように、線は実際には指数曲線です(「Y」軸は対数であることに注意してください。これにより、曲線は直線のように見えます)。したがって、「Y」軸を線形に戻すと、曲線の形状が明らかになり、「感染性」曲線の形状との類似性が顕著になります。

数式の再配置

前述の式は、2月16日から3月24日までの「感染症」の数の増加は時間の指数関数であり、これを「反転」または再配置して、数の関数として時間を解くことができることを示しています。 「感染症」の例:


「感染症」の数の関数として時間の式を使用すると、「R0」を決定できます。これは、SIRモデルの「感染症」の数を2倍にするのにかかる日数を表します。

次のExcelフラグメントは、時間の数式がExcelスプレッドシートに入力されたときに何が起こるかを示しています。

つまり、「感染者」の数が1から2に倍増するのに約3。426日かかります。これは、たまたま「R0」の値でもあります。

3&を簡単に置き換えることができます。 6、10& 20、14& 28または1&の「感染」値の他のペア2; 2番目の数字が最初の数字の2倍である限り、関連する時間値の差は常に同じです。

SIR数学では、「R0」は「β」の逆数です。したがって、1を「R0」で割ると0.292になります。これは、この場合の「β」の値です。

2月16日のSIR& 3月24日

次のグラフは、2月17日の開始日と上記で決定された「β」値を使用するSIRモデルの出力と、同じ期間の既知の「感染」データを比較しています。示されているように、2つの曲線は厳密に一致しています:

対数スケールのSIR

もう一度対数目盛に切り替えると、下のグラフは、紫色の「モデル化された」「感染症」の線(実際には曲線)が、X切片の開始日を決定するために以前に使用された「適合線」に非常に似ていることを示しています。 「β」値。これは、2月17日から3月24日までの間にオーストラリアでのコロナウイルスの拡散が指数関数的に増加したという前述の観察結果と一致します。

アクションが実行されなかった場合

以下の曲線は、前述の設定でSIRモデルを将来、たとえば約1年間実行した結果です。これは、エピデミックを遅らせるための措置が講じられなかった場合、オーストラリアの医療制度は5月中旬までに完全に圧倒され、「感染者」の数は1,100万人に達し、8月の初めまでに流行はほぼすべての人口に影響を与えたでしょう。灰色の「回復した」曲線を表した個人の多くは、そのような猛攻撃を生き延びなかった可能性があります。これらを「最悪の場合」のSIR曲線と呼びましょう。

曲線の変化

幸いなことに、3月25日以降、下のグラフの黒い点線で示されているように、「感染症」曲線の傾きが減少し始めました。予測された「最悪のケース」のベンチマークパスに従わなくなりました。 3月19日、オーストラリアの国境は非居住者と非市民に対して閉鎖され、3月20日、政府は、「4平方メートルが提供される」という条件で、100人未満の集会が許可されると発表しました。閉鎖された空間での一人当たり」。 500人以上の野外集会も無期限に禁止され、遠方の規則ではさらに、結婚式や葬儀に出席する人数の制限とともに、映画館、劇場、レストラン、カフェ、パブ、クラブの閉鎖が義務付けられました。 3月下旬に州が国境を閉鎖したため、封鎖はさらに強化されました。

遅延と国境

上のグラフは、コロナウイルスの拡散を制限するための措置が講じられてから「感染症」曲線の傾きが変化するまでに約6日間の遅延があることを示しています。これは、潜伏期間が原因である可能性があります。世界保健機関は通常5日です。

3月19日より前に社会的距離の対策がすでに実施されていたことを考えると、この流行に対するオーストラリアの唯一の最も重要な対応は、国境を閉鎖し、その後は州を閉鎖することでした。広大な面積、州境のシンプルな配置、人口の少なさを備えた私たちのユニークな島国は、流行に対する最善の防御であり、他のすべてのことは結果を高めることしかできません。

4月4/5日—ターニングポイント

3月19日から4月4/5までの期間、約16日間(回復する日数である「Y 0 」に非常に近い)「感染症」の傾き曲線は減少し続け、4と4の間のある時間でゼロに達した。 4月5日、それまでに「回復した」個人の数は急速に増加し始めていました。この状況は、次のグラフにグラフで示されています。

降下を続ける

4&の間のターニングポイント以降4月5日、「感染症」の数が約4,800でピークに達したとき、対応する曲線は一貫して下降し、4月11日までに約3,500でした。逆に、「回復」曲線は上昇を続け、4月11日までに約2,800でした。

β

の詳細

「感染症」曲線の傾きは3月25日以降一貫して減少していたため、これは「β」の値も減少している(またはおそらく減衰している)ことを意味し、これは下のグラフにグラフで示されています。

「 ‘R0’& 3月25日より前の「β」の値は、2月17日から3月24日までの「感染」曲線を分析することによって決定されました。 3月25日以降、モンテカルロアルゴリズム(Visual Basicでコーディング)を使用して、新しい毎日の「β」値に自動的に収束しました(詳細については、ウィキペディアの「モンテカルロアルゴリズム」エントリを参照してください)。

投影β

3月28日頃から、Excelの「β」値を十分に減らして、対応する最適な曲線を決定しました。結果として得られた対数近似「β」により、将来の「β」値を予測することが可能になりました。これを実証するために、次のグラフは4月1日現在の「β」値を、結果として得られた近似および予測された対数曲線とともにプロットしています。

予測— 4月1日現在

「β」の近似値を将来に拡張することで、SIRモデルを毎日実行することが可能になり、これにより、「感染症」の数値がピークに達する日付と、 「回復した」数値は増加を停止します(つまり、流行が明らかに終了したとき)。次のグラフは、4月1日現在の「感染」の数値と予測された「β」に基づくそのような予測を示しています。

β’(4月11日現在)

4月11日までに、「β」値はほぼゼロになりました。

予測– 4月11日現在

次のグラフは、4月11日時点で導出された「感染」の数値と予測された「β」に基づいて予測された「感染」曲線と「回復」曲線を示しています。

日々の「感染症」

以下の複合チャートは、3月30日(最も外側)から4月11日(最も内側)に予測された「感染」曲線を示しています。 4月11日の曲線はピーク値が低く、他のどの曲線よりも急速にゼロに向かう傾向がありますが、全体として大きな変化はなく、したがって、エピデミックは非常に大幅に後退したと結論付けるのが妥当です。

日ごとに「回復」

「回復済み」の複合チャートは、流行が後退していることもグラフィカルに確認しています。

「回復した」合計の予測

予測された「回復した」個人の総数のグラフは、7月/ 8月のある時点で約8,300人に落ち着くと示しています。

この調査では、流行中に亡くなった人の数値は示されていませんが、死亡は回復した人の割合として推測できます。

概要

この調査の主な調査結果の要約は次のとおりです。

少なくとも今後6か月間警戒を怠らない限り、オーストラリアの人口は、世界中の多くの恵まれない国よりも大幅に影響が少ないようです。